Grup | Aljabar Abstrak

Dengan mempelajari kelompok kita bisa sampai pada pemahaman yang lebih jelas dari masing-masing khusus kasus. Bab ini memberikan pengenalan kelompok melalui contoh dan koneksi dengan simetri. Kemudian bab ini menanggapi teori umum dan aplikasi dari kelompok.

Definisi dan contoh

Suatu grup (group) < G , * > terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner *

yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut :

(1) Hukum tertutup : a * b Є G untuk semua a, b Є G,

(2) Hukum assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c Є G,

(3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e Є G sehingga

e * x = x * e = x

untuk semua x Є G,

(4) Hukum invers : untuk setiap a Є G, terdapatlah a′ Є G sehingga a * a′ = a′ * a = e.

Biasanya lambang < G , * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a^-1

adalah lambang untuk invers a.

Perhatikan bahwa kelompok terdiri dari sepasang hal, satu set dan operasi pada set itu. di
khususnya, himpunan harus ditutup sehubungan dengan operasi. Seringkali, kelompok ini disebut oleh penamaan hanya set yang mendasari, tapi itu aman hanya jika jelas apa operasi
dimaksudkan. Sebagai kasus khusus, setiap kali kita mengacu pada sekelompok bilangan bulat, operasi adalah dimaksudkan untuk menjadi penambahan.

Contoh 5.1. Himpunan bilangan bulat bahkan bersama-sama dengan penambahan adalah kelompok. Penambahan adalah operasi karena jumlah dari dua bilangan bulat bahkan merupakan integer.

Hukum asosiatif adalah benar untuk semua bilangan bulat, sehingga memang benar untuk subset dari semua bilangan bulat bahkan. Identitas elemen adalah 0 (bahkan integer), dan kebalikan dari x bahkan integer adalah-x (lagi genap integer)

Contoh 5.2. Himpunan bilangan bulat positif dengan penambahan bukanlah kelompok, karena ada unsur identitas. Bahkan jika kita menganggap bilangan bulat positif bersama dengan 0 kita tidak akan mendapatkan kelompok, karena tidak ada unsur selain 0 akan memiliki invers.

Contoh 5.3. Himpunan {0} bersama-sama dengan penambahan adalah kelompok. Perhatikan bahwa karena kelompok harus mengandung unsur identitas, set mendasari kelompok harus selalu mengandung setidaknya satu elemen.

Contoh 5.4. Himpunan bilangan rasional positif dengan perkalian merupakan grup.

Jika r/s dan u / v adalah positif, maka (r / s) (u / v) = ru / sv juga positif. Kami mengambil asosiatif hukum menjadi fakta umum dikenal dari aritmatika. (Kita akan memiliki lebih banyak mengatakan tentang hal ini di Bab VII.) Elemen identitas adalah 1, dan kebalikan dari r / s adalah s/r(r$0,s$0).

Contoh 5.5. Tabel 5.1 dan 5.2 mendefinisikan operasi pada himpunan {a, b, c} bahwa kelompok-kelompok hasil. Pada Tabel 5.1 (*), adalah elemen identitas dan invers dari a, b​​, dan c adalah, c , dan b,masing. Pada Tabel 5.2 (#), b adalah elemen identitas dan invers dari a, b​​, dan c adalah c, b, dan masing-masing. Verifikasi associativity adalah Soal 5.18. contoh ini
mengilustrasikan mengapa, secara umum, kita harus menentukan operasi, bukan hanya mengatur, ketika berbicara tentang kelompok.

Tabel 5.1

*	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

Tabel 5.2

#	a	b	c
a	c	a	B
b	a	b	c
c	b	c	a

Teorema 4.1(b). Kami akan kembali ke kelompok jenis ini dalam bagian berikutnya.
Contoh 5.7. Biarkan p menunjukkan titik tetap di pesawat, dan membiarkan G menunjukkan himpunan semua rotasi dari pesawat tentang p poin. Dalam Contoh 4.1 kami mengamati bahwa komposisi operasi pada himpunan G, dan kami juga diverifikasi semua yang diperlukan untuk menunjukkan bahwa ini memberikan sebuah kelompok.

Teorema 4.1(b). Kami akan kembali ke kelompok jenis ini dalam bagian berikutnya.

Contoh 5.7. Biarkan p menunjukkan titik tetap di pesawat, dan membiarkan G menunjukkan himpunan semua rotasi dari pesawat tentang p poin. Dalam Contoh 4.1 kami mengamati bahwa komposisi operasi pada himpunan G, dan kami juga diverifikasi semua yang diperlukan untuk menunjukkan bahwa ini memberikan sebuah kelompok.

Contoh 5.8. Misalkan A menunjukkan himpunan semua ao pemetaan, b: R à R, sebagaimana didefinisikan dalam Contoh 4.2. Ingat bahwa a, b Є R, a # 0, dan aa,b (x) = ax+b untuk setiap xЄR. Dengan komposisi dari pemetaan seperti operasi, ini menghasilkan kelompok. Aturan untuk komposisi yang bekerjadi Contoh 4.2. Elemen identitas adalah al, o [Soal 4.6(a)].Kebalikan dari a a,b adalah a a^-1',-a^-1 b (Soal5.19).

Contoh 5.9. Misalkan M (2,] R) menunjukkan himpunan semua matriks 2 2 x nyata bersama-sama dengan penambahan sebagai operasi. Contoh 3.8 menunjukkan bahwa M (2, IR) adalah suatu grup.

Definisi: Sebuah grup G dikatakan Abelian jika operasi kelompok adalah komutatif
(ab = ba untuk semua a, b Є G). Non-Abelian berarti tidak Abelian.
The Abelian nama untuk menghormati matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel
(1802-1829), kontribusi yang akan dibahas dalam Bab X. Kelompok-kelompok dalam Contoh
5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7, dan 5.9 yang Abelian.

Kelompok-kelompok dalam Contoh 5.8 dan 5.10 adalahnon-Abelian (Masalah 5.19 dan 3.26).

Kelompok pada Contoh 5.6 adalah non-Abelian jika ISI>2 (Soal6.11). Pemeriksaan kelompok yang diberikan sejauh ini akan mengungkapkan bahwa dalam setiap kasus hanya ada satu identitas elemen. Definisi ini mensyaratkan bahwa ada satu, titik sekarang adalah bahwa ada tidak bisa lebih dari satu. Demikian pula, setiap elemen dalam setiap kelompok hanya memiliki satu elemen invers. Disini adalah pernyataan resmi dan bukti dari kedua fakta.