Pengetahuan dan pemahaman
seseorang tentang system bilangan real R beserta sifat-sifatnya, akan
menentukan pemahaman orang itu dalam membahas konsep-konsep analisis, karena
system bilangan real merupakan salah satu konsep yang mendasari pembahasan
analisis.
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali system
bilangan real ini,yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Akan tetapi
dalam buku ini system bilangan real akan dikenali secara aksiomatik, yaitu
dengan menganggap system bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu yang
dirumuskan dalam tiga gugusan aksioma, aksioma tersebut adalah : Aksioma
Lapangan, Aksioma Urutan dan Aksioma Kelengkapan.
Topik-topik terkait lainnya dalam system bilangan real
yang dibahas adalah : Nilai Mutlak, selang, Titik Kumpul atau titik limit,
himpunan terbuka dan himpunan tertutup pada R.
- Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real
Aksioma 1. 1(Aksioma
Lapangan)
Misalkan R menyatakan
bilangan real, penjumlahan (+) dan perkalian(.) merupakan operasi biner yang
didefinisikan pada R, maka
(A1) a + b = b + a untuk
setiap a, b ÎR
(A2) (a + b + c) = a + ( b +
c) untuk setiap a, b, c ÎR
(A3) ada unsur 0 ÎR sedemikian sehingga 0 +
a = a dan a + 0 = a untuk setiap a ÎR
(A4) untuk setiap a ÎR, ada -aÎR sedemikian sehingga a
+(-a) = (-a)+ a = 0.
(M1) a . b = b . a untuk
setiap a, b ÎR
(M2) (a . b) c = a . ( b .
c) untuk setiap a, b, c ÎR
(M3) ada unsur 1 ÎR sedemikian sehingga 1.
a = a dan a .1 = a untuk setiap a ÎR
(M4) untuk setiap a ¹0ÎR, ada 1/aÎR sedemikian sehingga a .(1/a) = (1/a). a = 1.
(D) a.(b +c) = a.b + a.c dan
(b +c).a = b.a + c.a untuk semua a,b,c ÎR
Unsur 0 pada A3 dan unsur 1 pada M3, unsure negatif pada
A4 dan unsure balikan pada M4 adalah tunggal. Hal ini dapat ditunjukkan dengan
cara sebagai berikut:
Akan ditunjukkan bahwa unsur
0 dan unsur 1 tunggal.
Misalkan terdapat dua unsure
nol, yaitu z1 dan z2, maka z1 + a = a dan z2
+ a = a untuk semua a di R. akan dibuktikan bahwa z1= z2.
Karena z1 , z2
di R dan memenuhi z1 + a = a = z2 + a atau z1
+ a = z2 + a, selanjutnya dengan menambahkan pada kedua ruas dengan
–a, akan kita dapatkan z1 + a +(-a)= z2 + a + (-a).
berdasarkan sifat A4 dan A3, maka z1= z2. Dengan cara
yang sama akan kita dapatkan bahwa unsure satuan itu tunggal.
Teorema 1.1
(i)
jika z, a di R sedemikian sehingga z + a = a, maka z = 0
(ii)
jika u. b di R dan b ¹ 0 sedemikian sehingga u. b
= b, maka b = 1
Bukti
(i)
karena a di R, maka berdasarkan A4, ada –a di R sedemikian
sehingga a + (-a) = 0.
Jadi,
(z +a) +(-a) = a +(-a) = 0 dan berdasarkan sifat A2, A4 dan A3 kita peroleh
z +
(a +(-a)) = z + 0 = 0. jadi z = 0.
(ii)
Karena b di R dan b ¹ 0, maka berdasarkan sifat
M4 ada unsur 1/b di R sedemikian sehingga b.(1/b) = 1. Jadi (u.b).1/b = b.(1/b)
= 1 dan berdasarkan sifat M2, M4 dan M3 kita peroleh (u.b).1/b = u.( b.1/b) =
u.1 = 1. Jadi u = 1.
Teorema 1.2
(i)
jika b, a di R sedemikian sehingga b + a = 0, maka b = -a
(ii)
jika a, b di R dan a ¹ 0 sedemikian sehingga a. b = 1, maka b = 1/a
Bukti
(i)
karena a di R, maka berdasarkan A4, ada –a di R sedemikian
sehingga a + (-a) = 0.
Jadi,
(b +a) +(-a) = 0 +(-a) = -a dan
berdasarkan sifat A2, A4 dan A3 kita peroleh
b +
(a +(-a)) = b + 0 = -a. jadi b = -a.
(ii)
Karena a di R dan a ¹ 0, maka berdasarkan sifat
M4 ada unsure 1/a di R sedemikian sehingga a.(1/a) = 1. Jadi (b.a).1/a =
1.(1/a) = 1/a dan berdasarkan sifat M2, M4 dan M3 kita peroleh (b.a).1/a = b.(
a.1/a) = b.1 = 1/a.
Jadi
b = 1/a.
Berikut ini akan diberikan
teorema yang berkaitan dengan penyelesaian suatu persaman dan ketunggalan dari
sebuah solusi.
Teorema 1.3
Misalkan a, b ÎR, maka
(i)
Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal yaitu x =
(-a) + b
(ii)
Jika a ¹ 0 dan persamaan a.x = b
mempunyai penyelesaian tunggal x = (1/a).b
Bukti
(i)
pertama akan ditunjukkan bahwa a + x = b mempunyai penyelesaian. Dengan
menambahkan –a pada kedua ruasnya dan dengan menggunakan aksioma lapangan R
akan kita dapatkan (-a) + a + x = (-a) + b atau (-a) + a + x = 0 + x = x = (-a)
+ b.
kedua akan ditunjukkan bahwa solusinya
tunggal. Misalkan ada penyelesaian yang lain yaitu x1. Misalkan x1
¹ x, karena x1
solusi, maka a + x1 = b, akan tetapi
a + x1 ¹ a + x atau a + x1
¹ b. hal ini kontradiksi bahwa x1 adalah solusi. Jadi
haruslah x = x1.
(ii)
Buktikan sebagai latihan anda.