HIMPUNAN

    Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh pakar matematika berkebangsaan Jerman pada abad 18, yaitu George Cantor ( 1845 – 1918 ). 

   Definisi; Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda ( objek ) yang telah terdefinisi dengan jelas. Yang dimaksud dengan benda atau objek yang telah jelas keadaannya, seprti boneka, binatang, angka, warna, dan lain-lain. Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah sebagai berikut : Siswa-siswa kelas VII-A, Kumpulan angka 2, 4, 5, 8, Kelompok siswa SMP Bahtera yang mengikuti latihan menari, Kumpulan hewan pemakan daging. 

   Contoh diatas merupakan himpunan karena objek-objeknya telah didefinisikan dengan jelas.  

   Contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan adalah : Kumpulan warna yang menawan Kumpulan diatas bukan merupakan himpunan, karena objek warna yang menawan belum didefinisikan dengan jelas. Kelompok siswa yang berbadan tinggi Kelompok ini tidak bisa disebut himpunan, karena tinggi badan siswa belum diberi batasan ukuran yang jelas. Kumpulan lukisan indah Kumpulan ini bukan merupakan himpunan, karena pengertian indah tidak memiliki batasan dan definisi yang jelas. 

   Lambang Himpunan Suatu himpunan dinyatakan dengan huruf capital seprti : A, B, C, N, P. Apabila objek atau anggota himpunan berupa huruf, maka objek tersebut dinyatakan dengan huruf kecil. Perhatikan contoh-contoh berikut : Himpunan huruf vocal dapat ditulis V= { a, i, u, e, o } dengan anggotanya a, i, u, e dan o. Himpunan bilangan cacah dapat di tulis C= { 0, 1, 2, 3, 4, … } dengan anggotanya : 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Himpunan bilangan prima dapat di tulis P= { 2, 3, 5, 7, … } denagn anggotanya : 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. K adalah himpunan huruf pembentuk kata “MATEMATIKA”, dapat ditulis K= { m, a, t, e, i, k }atau K= { k, a, t, e, m, i }, bukan K= { m, a, t, e, m, a, t, i, k, a }.€ Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas ( dicirikan dengan tiga buah titik terakhir ). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga. Anggota Himpunan. Misalkan himpunan A= { a, b, c, d , maka a, b, c, dan d berada didalam himpunan A dan merupakan anggota dari A. Dapat ditulis a∈ A, b ∈ A, c ∈ A, dan d ∈ A. Apabila k kita cocokan dengan himpunan A, ternyata k tidak ada didalam himpunan A. Hal ini berarti k diluar A atau k bukan anggota himpunan A, dan ditulis k ∉ A. Simbol anggota suatu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut ; Jika x merupakan anggota A, maka ditulis x ∈ A. Jika x bukan merupakan anggota A, maka ditulis x ∉ A. Banyaknya anggota himpunan suatu himpunan Menentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti mencacah anggota himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). 

   Contoh 1: Apabila K= { 2, 4, 6, 8, 10 } dan L= { 1, 2, 3, 4 }, tentukan n(K) dan n(L) ! Diketahui : A = { bilangan ganjil antara 11 dan 20 } T = { 1, 2, 3, 4, … , 20 } K = { faktor prima dari 45 } Tentukan n(A) + n(T) – n(K) ! Jawab: K = { 2, 4, 6, 8, 10 } → n(K) = 5 ( banyaknya anggota K ) L = { 1, 2, 3, 4 } → n(L) = 4 ( banyaknya anggota L ) A = { 13, 15, 17, 19 } → n(A) = 4 ( banyaknya anggota A ) T = { 1, 2, 3, … , 20 } → n(T) = 20 ( banyaknya anggota T ) K = { 3, 5 } → n(K) = 5 ( banyaknya anggota K ) Jadi, n(A) + n(T) – n(K) = 4 + 20 – 2 = 22 Contoh 2: Tentukan banyaknya anggota dari masing-masing himpunan berikut ini. A = himpunan huruf pembentuk kata “PARIWISATA”. B = himpunan bilanagan prima kurang dari 3. C = himpunan bilangan genap. Jawab: A = { p, a, r, i, w, s, t } →n(A) = 7 B = { 2 } →n(B) = 1 C = { 2, 4, 6, 8 } →n(C) = ~ ( banyaknya tak terhingga ) Himpunan A dan B disebut himpunan berhingga sedangkan himpunan C disebut himpunan tak berhingga. Banyaknya anggota himpunan disebut bilangan cardinal atau kardinalitas. 

   Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk : Kata-kata ( metode deskripsi ) Suatu himpunan dapat dituliskan dengan kata-kata untuk menunjukan syarat keanggotaannya. Syarat keanggotaan ini harus disebutkan dengan jelas agar objek yang tidak memenuhi syarat tidak bisa masuk dalam himpunan tersebut. Agar lebih jelas, lihat contoh berikut: R adalah himpunan nama hari dalam semingu yang huruf awalnya “S” A adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10. Mendaftar ( metode tabulasi / roster ) Denagn metode ini, anggota himpunan yang dinyatakan dengan metode mendaftar disebutkan satu per satu. Anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan antara anggota satu dengan lainya dipisahkan oleh tanda komaa.

   Perhatikan beberapa contoh berikut : A = { 1, 3, 5, 7 } menyatakan himpunan empat bilangan ganjil yang pertama secara tabulasi. B = { Januari , Juni , Juli } menyatakan himpunan nama bulan dengan huruf awal “J” secara tabulasi. Metode tabulasi juga dapat digunakan untuk menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah anggotanya sangat banyak dan tak berhingga, seperti pada contoh berikut. A = { 2, 4, 6, 8, … } menyatakan himpunan bilangan genap secara tabulasi. B = { 1, 2, 3, 4, …, 99 } menyatakan himpunan bilangan asli yang kurang dari 100 secara tabulasi. Notasi pembentuk himpunan ( metode bersyarat / rule ) Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Anggotanya dilambangkan dengan huruf ( peubah ) , kemudian diikuti dengan sebuah garis dan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Contoh bentuk metode berurut: A = { x x > 4, x ∈ himpunan bilangan asli } ↓ Anggota syarat keanggotaan Himpunan A Dibaca : A adalah himpunan dengan anggota x, dimana x lebih dari 4 dan x anggota himpunan bilangan asli. Contoh : Diberikan P = { 0, 2, 4, 6, 8 }. Tuliskan bentuk tabulasi tersebut kedalam pernyataan dengan metode deskripsi dan metode rule. Jawab : Jika himpunan P dinyatakan dengan kata-kata akan diperoleh : P = { lima bilangan cacah genap yang pertama }, atau P adalah himpunan lima bilangan cacah genap yang pertama. Jika himpunan P dinyatakan dengan metode rule diperoleh : P = { x x bilingan cacah genap yangkurang dari 10 } P = { x x < 10, x bilangan cacah genap } Jika dijumpai himpunan berhingga yang anggotanya banyak dan himpunan tak berhingga, sebaiknya penulisan tersebut memakai metode rule.

   Beberapa Himpunan Bilangan 

1)Himpunan Bilangan Asli ( A ) Himpunan bilangan asli beranggotakan : 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Secara tabulasi himpunan bilangan asli ditulis : A = { 1, 2, 3, 4, … } dengan A adalah simbol bilangan asli. 

2) Himpunan Bilangan Cacah ( C ) Himpunan bilangan cacah beranggotakan : 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Secara tubulasi, himpunan bilangan cacah ditulis : C = { 0, 1, 2, 3, 4, … } dengan C adalah simbol bilangan cacah. 

3) Himpunan Bilangan Prima. ( P ) Bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat dua paktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Secara tabulasi, himpunan bilangan prima ditulis : P = { 2, 3, 5, 7, … } denagn P adalah simbol bilangan prima. 

4) Himpunan Bilangan Bulat ( B ) Himpunan bilangan bulat beranggotakan : bilangan bulat positif, nol, dan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat negatif beranggotakan : -1, -2, -3, dan seterusnya. Himpunan bilangan bulat positif beranggotakan : 1, 2, 3, dan seterusnya. Secara tabulasi, himpunan bilangan bulat ditulis : B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } dengan B adalah simbol bilangan bulat Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. 

5) Himpunan kosong disimbolkan dengan { } atau ∅. Perhatikan kedua contoh berikut ini : H adalah himpunan satu bilangan cacah yang pertama, berarti H = { 0 } dan n( H ) = 1. Anggota H adalah 0. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T = { } dan n( T ) = 0. Anggota T tidak ada. R adalah himpunan laki-laki yang mengandung, berati R = { } dan n(R) = 0. Anggota R tidak ada. K adalah himpunan mahasiswa IAIN yang berumur 3 tahun, berarti K = { } dan n(K) = 0. Anggota K tidak ada. Berdasarkan contoh diatas terlihat bahwa : { 0 } tidak sama dengan { } atau { 0 } ≠ { }. 

6) Himpunan Semesta Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan bisa disimbolkan dengan S atau U. 

   Perhatikan contoh berikut : R = { 3, 5, 7 } Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya adalah : S = R = { 3, 5, 7 } S = { bilangan ganjil } S = { 1, 2, 3, 5, 7 } S = { bilangan cacah } S = { bilangan prima } 

    DIAGRAM VENN Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram venn. Contoh soal : Buatlah diagram venn dari himpunan-himpunan berikut ini ! S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 4, 5 }, dan R = { 1, 3, 6 }. Jawab : Diagram venn untuk himpunan S, A, R adalah seperti pada gambar. Anggota A dan anggota R tidak ada yang sama, maka diagram untuk A dan R terpisah. Buatlah diagram venn dari himpunan-himpunan berikut ini ! S = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }, M = { 1, 3, 5, 7 }, dan U = {1, 3, 11, 13 }. Jawab : Diagram venn untuk himpunan S, M, U adalah seperti gambar di atas. Himpunan M dan U mempunyai dua anggota yang sama, yaitu 1 dan 3. Hal ini berarti 1 dan 3 dipakai bersama oleh M dan U. Anggota diluar M dan U adalah 15, 17 dan 19. Anggota yang ada di M tetapi diluar U adalah 5, 7, dan 9. Anggota yang hanya ada U adalah 11 dan 13. Buatlah diagram venn dari himpunan-himpunan berikut ini ! S = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }, M = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } dan P = { 3, 5, 7 } Jawab : Semua anggota P ada di M, hal ini berarti himpunan P digambarkan didalam himpunan M ( lihat gambar din atas. Jumlah mahasiswa Matematika D adalah 33 orang. Dari 33 mahaswiswa, 15 mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika, 14 mahasiswa yang menyukai mata kuliah MPM dan 8 mahasiswa tidak menyukai keduanya. Tentukanlah: Diagram Venn Banyaknya mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika dan MPM. Jawab: a. b. S = himpunan mahasiswa matematika D yang menyukai mata kuliah statistika. M = himpunan mahasiswa matematika D yang menyukai mata kuliah MPM. Dit: Banyaknya mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika dan MPM ? Penyelesaian: x + (15 – x) + (14 – x) – 8 = 33 15 + 14 – x + 8 = 33 x = 37 – 33 x = 4 jadi banyaknya mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika dan MPM adalah 4 orang. A. Himpunan Bagian. a. Pengertian Himpunan Bagian. A adalah himpunan bagian dari B bila semua anggota A merupakan anggota B, ditulis dengan notasi A ⊆ B atau B ⊇ A. Perhatikan contoh-contoh berikut ini : 1. misalkan A = { 1, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Terlihat bahwa A dapat diperoleh dari B dengan cara menghapus beberapa anggota B, yaitu 2, 4, dan 6. Ini berarti A adalah himpunan bagian dari B. diagram venn himpunan ini dapat dilihat pada gambar dibawah.. Semua anggota A juga merupakan anggota dari B. A adalah himpunan bagian dari B bila semua anggota A merupakan anggota B, ditulis dengan notasi A ⊆B atau B ⊇ A. Notasi A ⊆ B dibaca A adalah himpunan bagian dari B, atau A termuat di B, dan B ⊇ A di baca B memuat A. misalkan K = { 1, 2, 5, 7, 9 } dan T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Terlihat bahwa n(K) = 5 dan n(T) = 7. Tidak semua anggota K termuat di dalam T dan sebaliknya. K bukan himpunan bagian dari T dan T bukan himpunan dari K, dituliskan K ⊄ T dan T ⊄ K. Untuk himpunan kosong karena tidak mempunyai anggota, maka pembentukan himpunan kosong tidak berpengaruh pada keberadaan anggota. Himpunan P = { 1, 2 } mempunyai empat buah himpunan bagian atau disebut subset. Subset-subset itu adalah : {1} diperoleh dengan menghapus angka 2 dari P. {2} deperoleh dengan menghapus angka 1 dari P. { 1, 2 } diperoleh tanpa menghapus semua anggota P. ∅ diperoleh dengan menghapus semua anggota P. Keempat himpunan diatas jika ditulis secara simbol : {1} ⊆ P, {2} ⊆ P, ∅ ⊆ P dan { 1, 2 } ⊆ P ( P ⊆ P ) Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan : Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Untuk sembarang himpunan a, berlaku A ⊆ A. Menentukan Smua Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan Himpunan bagian dari suatu himpunan dapat ditentukan dengan metode penghapusan anggota. Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. missal K = { 1, 2, 3 }. 

    Himpunan bagiannya adalah : a. tanpa openghapusan, diperoleh { 1, 2, 3 } b. penghapusan 3, diperoleh { 1, 2 } c. penghapusan 2, diperoleh { 1, 3 } d. penghapusan 1, diperoleh { 2, 3 } e. penghapusan 2 dan 3, diperoleh { 1 } f. penghapusan 1 dan 3, diperoleh { 2 } g. penghapusan 1 dan 2, diperoleh { 3} h penghapusan 1, 2, dan 3, diperoleh ∅ tau { } jadi, himpunan bagian dari K ada sebanyak 8 buah, yaitu : K, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, dan { }. 

   HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

 A. Himpunan Saling Lepas. Perhatikan himpunan A dan B dengan A = { 1, 2, 3, 4 } dan B { 6, 8, 10 }. Terlihat bahwa A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan, karena itu anggota A dan B berdiri sendiri. Dua himpunan yang demikian disebut himpunan yang saling lepas atau saling asing. Himpunan saling lepas dinotasikan dengan ⊃⊂. Dua buah himpunan disebut saling lepas atau saling asing bila kedua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan. 

  B. Himpunan Tidak Saling Lepas. 1. Himpunan yang satu bukan merupakan himpunan yang lain. Perhatikan diagram venn di atas ! R = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan T = { 2, 3, 5, 7, 10, 12 }. Dari dua himpunan itu terlihat bahwa : R ⊄ T, karena 1 ∈ R tetapi 1 ∉ T T ⊄ R, karena 2 ∈ T tetapi 2 ∉ R R berpotongan dengan T, karena 3 ∈ R dan 3 ∈ T, 5 ∈ R dan 5 ∈ T, serta 7 ∈ R dn 7 ∈ T. Himpunan R dan T disebut himpunan yang tidak saling lepas. 2. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain. Perhatikan diagram venn diatas ! T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan K = { 1, 3, 5, 7 }. Dari himpunan diatas terlihat bahwa K ⊆ T. Himpunan T dan K disebut himpunan yang tidak saling lepas atau himpunan yang saling bergantungan. Dua himpunan dinyatakan tidak saling lepas bila kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan. C. Himpunan yang Sama. Perhatikan himpunan A dan B berikut ini ! A = { t, a, r, i } dan B = { a. r. t. i }. Semua anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B, demikian sebaliknya.himpuna A dan B disebut himpunan yang sama dean ditulis sebagai A = B. dalam diagram venn, hubungan A dan B dapat di lukiskan sebagai berikut : Simbol kesamaan A B A = B setelah disatukan. = ⟹ A = { t, a, r, i } B = { a, r, t, i } A = B = { t, a, r, i } Contoh : Diketahui : K = { bilangan ganjil antara dua 2 dan 8 }. T = { bilangan prima yang kurang dari 9 dan lebih dari 2}. a. Nyatakan himpunan K dan T dengan mendaftar anggota-anggotanya ! b. Apakah K = T ? Jawab : a. K = { 3, 5, 7 } dan T = { 3, 5, 7 }. b. Ya, K = T

    IRISAN [ ∩] A. Pengertian Irisan Perhatikan dua himpunan ini, P = { a, b, c, d, e, f, g, h }, Q = { a, c, e, g, h }. Terlihat bahwa anggota persekutuan P dan Q adalah a, c, e, dan g. hal ini berarti P dan Q beririsan dan ditulis P ∩ Q = { a, c, e ,g }. Irisan P dan Q ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini. Irisan P dan Q himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaluigus anggota Q, ditulis dengan notasi P ∩ Q = { x x ∈ P dan x ∈ Q } Contoh : Diberikan A = { bilangan asli yang kurang dari 6 } B = { 2, 4, 6 } a. Tentukan A ∩ B ! b. Lukiskan diagram venn A ∩ B ! Jawab : a. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6 } maka A ∩ B = { 2, 4 } b. 

   GABUNGAN [ ∪ ] A. Pengertian Gabungan Dua Himpunan Gabungan dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan ∪. Misalkan, P = { 2, 3, 4, 5 } dan Q = { 1, 2, 4, 7 }, maka P ∪ Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P atau Q, ditulis denagan notasi pembentuk himpunan : P ∪ Q = { x x ∈ P atau x ∈ Q }   

DAFTAR PUSTAKA Lestari, sri. Kumpulan Rumus Matematika SMP. 2002. ST. Kawan Pustaka: Bandung. Sucipto, endar. Matematika SMP. 2004. Erlangga: jakarta.